运动康复师证发证机构主要由以下几个部门负责：

1、国家卫生健康委员会(National Health Commission of the People's Republic of China,简称NHC):作为中国政府部门，NHC负责制定和发布与健康相关的政策、法规和标准，在运动康复领域，NHC会制定相关政策和标准，对运动康复师的培训、考试和发证进行监管。

2、国家体育总局(General Administration of Sport of China,简称GSA):作为中国体育事业的主管部门，GSA负责组织和管理全国范围内的体育活动，包括运动康复，GSA会与NHC合作，共同推动运动康复师的发展和培训。

3、各省、自治区、直辖市卫生健康委员会(Health Commission of each province, autonomous region and municipality directly under the Central Government):各级卫生健康委员会在NHC和GSA的指导下，负责本地区的运动康复工作，包括运动康复师的培训、考试和发证，各级卫生健康委员会会与NHC和GSA密切合作，确保运动康复师的培训质量和证书的规范性。

4、职业培训机构：为了培养合格的运动康复师，各地还会设立职业培训机构，如卫生学校、体育学院等，这些培训机构会根据国家和地方的政策要求，开展运动康复师的培训课程，包括理论知识和实践技能，学员完成培训后，可以参加由上述部门组织的考试，获得运动康复师证书。

5、国际组织：随着全球化的发展，越来越多的国际组织关注运动康复领域的发展，世界卫生组织(World Health Organization,简称WHO)和国际劳工组织(International Labour Organization,简称ILO)等国际组织也会对运动康复师的培训、考试和发证提出建议和要求。

运动康复师证发证机构主要包括国家卫生健康委员会、国家体育总局、各省、自治区、直辖市卫生健康委员会、职业培训机构以及国际组织等，这些部门共同努力，确保运动康复师的专业素质和能力得到充分提升，为人们提供更好的运动康复服务。