运动康复师证发证机构是由国家卫生健康委员会(原卫生部)负责办理的，根据《中华人民共和国职业医师法》和《中华人民共和国护士法》的规定，运动康复师属于医疗专业技术人员，需要通过国家统一的职业资格考试取得相应的资格证书。

国家卫生健康委员会作为国务院组成部门之一，负责制定和实施卫生行业的政策法规，对医疗专业技术人员的职业资格进行监管和管理，在职业资格考试方面，国家卫生健康委员会会组织专家组制定考试大纲、命题、评卷等工作，并对考试成绩进行审核和发放证书。

具体的申请流程如下：

1、报名参加职业资格考试，考生需在规定时间内登录国家卫生健康委员会指定的网站进行网上报名，并按照要求提交相关材料。

2、参加理论考试，考试内容包括基础医学、临床医学、运动生理学、运动解剖学、康复医学等方面的知识。

3、参加实践技能考核，考生需到指定的医院或康复中心进行实践操作考核，测试其在实际工作中的能力水平。

4、成绩公示和申诉，考试结束后，国家卫生健康委员会会公布成绩并进行申诉处理。

5、颁发证书，通过考试的考生可以获得国家卫生健康委员会颁发的运动康复师资格证书。

需要注意的是，不同省份或地区的运动康复师证发证机构可能会有所不同，具体以当地相关规定为准，想要成为一名合格的运动康复师，还需要不断学习和提升自己的专业技能和服务水平，以更好地为患者提供优质的康复服务。