运动康复师证发证机构主要由以下几个部门负责办理：

1、国家卫生健康委员会(National Health Commission of the People's Republic of China,简称NHC):作为中国政府的最高卫生管理机构，NHC负责制定和实施全国范围内的卫生政策、法规和标准，在运动康复领域，NHC负责对运动康复师的培训、考核和证书颁发进行统一管理和监督。

2、中国残疾人联合会(China Disabled Persons' Federation,简称CDPF):作为中国残疾人事业的领导机构，CDPF负责协调和推动残疾人事业的发展，包括运动康复领域的工作，CDPF通过与各级卫生部门合作，共同推动运动康复师培训和证书颁发工作。

3、各省、自治区、直辖市卫生健康委员会：在NHC和CDPF的指导下，各省、自治区、直辖市卫生健康委员会负责本地区的运动康复师培训、考核和证书颁发工作，各级卫生健康委员会设有专门的运动康复师培训中心，负责组织和管理运动康复师的培训课程和实践环节。

4、职业培训机构：为了满足运动康复师市场需求，各级职业培训机构也会开设运动康复师相关课程，提供培训和考试服务，这些培训机构需要与中国卫生部授权的认证机构合作，确保培训质量和证书认可度。

5、认证机构：在中国，具有资质的运动康复师认证机构主要包括中国卫生部授权的国家级和省级认证机构，以及一些具有行业影响力的专业认证机构，这些认证机构负责对参加培训和考试的运动康复师进行专业能力评估，确保他们具备从事运动康复工作所需的专业知识和技能。

6、企事业单位：在企事业单位中，运动康复师主要负责为员工提供健康咨询、运动指导和康复训练等服务，为了提高服务质量和专业水平，企事业单位通常会要求员工取得运动康复师证书，并与认证机构合作，确保员工证书的真实性和有效性。

运动康复师证发证机构涉及多个部门和机构，包括国家卫生健康委员会、中国残疾人联合会、各级卫生健康委员会、职业培训机构、认证机构等，这些部门和机构共同努力，推动运动康复师培训和证书颁发工作的规范化、专业化和标准化发展。