催乳师证书颁发机构主要由以下几个部门负责：

1、卫生健康委员会：作为国家卫生健康委员会的下属机构，卫生健康委员会负责制定和发布催乳师行业的相关政策、法规和标准，对催乳师培训机构进行资质审查，对催乳师进行职业资格认证，在催乳师证书颁发过程中，卫生健康委员会会对催乳师的培训情况、考试成绩等进行审核，确保催乳师具备相应的专业知识和技能。

2、人力资源社会保障部：人力资源社会保障部负责全国范围内的职业技能鉴定工作，包括催乳师职业资格鉴定，在催乳师证书颁发过程中，人力资源社会保障部会对催乳师的职业素质、业务能力等进行评估，确保催乳师具备良好的职业道德和服务水平。

3、民政部：作为国家社会事务管理部门，民政部负责对社会福利机构进行监管，推动社会福利事业的发展，对于从事催乳工作的福利机构，民政部会对其从业人员进行资质审查和培训考核，确保催乳师具备专业的知识和技能，在催乳师证书颁发过程中，民政部会对福利机构的服务质量、管理水平等进行评估，确保催乳师能够在良好的工作环境中为母婴提供服务。

4、妇联组织：中国妇女联合会(简称妇联)是中国各族各界妇女的代表组织，致力于维护妇女权益、促进性别平等，妇联组织会组织开展各类妇女职业技能培训，包括催乳师培训，在催乳师证书颁发过程中，妇联组织会对参训妇女的学习态度、实践能力等进行评价，确保催乳师具备较高的综合素质。

5、其他相关部门：各省、市、自治区还会设立相应的人力资源和社会保障局、民政局等政府部门，负责本地区的催乳师证书颁发工作，这些部门会参照以上部门的要求，对催乳师进行资质审查、培训考核和证书颁发等工作。

催乳师证书颁发涉及多个部门的共同参与，各部门之间相互配合、协同推进，共同确保催乳师行业的健康发展，通过严格的资质审查、培训考核和证书颁发，可以提高催乳师的专业素质和服务水平，为广大母婴提供更优质的服务。