运动康复师证发证机构主要由以下几个部门负责：

1、国家卫生健康委员会(National Health Commission of the People's Republic of China,简称NHC):作为中国政府部门，NHC负责制定和发布与健康相关的政策、法规和标准，在运动康复领域，NHC会制定相应的行业标准和规范，以确保运动康复师的培训和认证工作符合国家要求，NHC还会对运动康复师的资质进行监管，确保其具备从事相关工作的能力。

2、中国体育科学学会(Chinese Society of Sports Science,简称CSSS):CSSS是中国体育科学领域的权威组织，负责组织和推动体育科学的研究、教育和国际交流，在运动康复领域，CSSS会组织相关专家和学者制定运动康复师的培训课程和认证标准，同时也会负责对运动康复师的资质进行认证。

3、各省、市、自治区卫生健康委员会：各级卫生健康委员会在NHC的指导下，负责本地区运动康复师的培训、考核和发证工作，各地卫生健康委员会会根据国家和地方的要求，制定相应的培训计划和考核标准，组织运动康复师的培训和考试，通过考试合格的运动康复师，将获得由当地卫生健康委员会颁发的证书。

4、职业培训机构：为了满足运动康复师市场需求，各地还设有职业培训机构，提供运动康复师的专业培训课程，这些培训机构通常会与NHC、CSSS等权威机构合作，共同制定培训课程和认证标准，学员完成培训后，可以参加由这些机构组织的考试，获得由相关部门颁发的运动康复师证书。

5、企事业单位：部分企事业单位也会设立专门的运动康复科室，招聘具有专业资质的运动康复师，这些单位通常会与职业培训机构或政府部门合作，为员工提供专业的培训和考核服务，通过培训和考核的员工，将获得由相关部门颁发的运动康复师证书。

运动康复师证发证机构主要包括国家卫生健康委员会、中国体育科学学会、各省、市、自治区卫生健康委员会、职业培训机构以及企事业单位等，这些部门共同努力，确保运动康复师的专业素质和能力得到充分认可，为我国运动康复事业的发展做出贡献。