催乳师证书颁发机构主要由以下几个部门负责：

1、人力资源和社会保障部：人力资源和社会保障部是国家级的职业资格证书颁发机构，负责全国范围内的职业资格证书的审批、管理和监督，催乳师证书作为国家职业资格证书之一，由人力资源和社会保障部进行统一管理和监督，催乳师在获得相关资质和培训后，可以向人力资源和社会保障部申请颁发催乳师证书。

2、卫生健康委员会：卫生健康委员会是国家级的健康卫生管理部门，负责全国范围内的健康卫生工作，催乳师作为一种健康服务职业，其证书的颁发和管理也受到卫生健康委员会的监管，在催乳师培训过程中，卫生健康委员会会对培训机构进行审核，确保培训质量和内容符合国家要求，完成培训后，学员可以向卫生健康委员会申请颁发催乳师证书。

3、国家中医药管理局：国家中医药管理局是国家级的中医药管理部门，负责全国范围内的中医药工作，虽然催乳师与中医药关系不大，但在一些特殊情况下，如结合中医理论进行催乳时，催乳师证书可能会由国家中医药管理局进行认证，国家中医药管理局还会对从事中医药相关的职业资格证书进行认证和管理。

4、地方人力资源社会保障局和卫生健康委员会：在各地级市和县级行政区域内，也会设有相应的人力资源社会保障局和卫生健康委员会，负责本行政区域内的职业资格证书颁发和管理，催乳师在获得相关资质和培训后，可以向当地人力资源社会保障局和卫生健康委员会申请颁发催乳师证书。

5、行业协会和学会：在中国，有一些专门从事催乳师培训和认证工作的行业协会和学会，如中国妇幼保健协会、中国家庭服务业协会等，这些协会和学会会组织专业的培训课程和考核，对合格的学员颁发催乳师证书，虽然这些证书并非国家职业资格证书，但在行业内具有一定的权威性和认可度。

催乳师证书的颁发机构主要包括人力资源和社会保障部、卫生健康委员会、国家中医药管理局以及地方人力资源社会保障局和卫生健康委员会等相关部门，还有一些行业协会和学会也会参与到催乳师证书的颁发和管理中，在选择催乳师培训机构时，建议学员了解清楚所选机构是否具备颁发催乳师证书的资质，以确保所获得的证书具有权威性和认可度。