康复理疗师证的发放部门主要由卫生健康委员会、人力资源和社会保障局、职业技能鉴定中心等部门共同负责，卫生健康委员会是康复理疗师证的最高审批部门，负责对康复理疗师的资格进行审核和认证；人力资源和社会保障局则是康复理疗师证书的发放和管理机构，负责将合格的康复理疗师名单录入到国家职业资格证书查询系统，并向社会公布。

在实际操作中，康复理疗师证的颁发通常需要经过以下几个步骤：申请人需满足一定的条件，如具有相关专业学历、工作经验等；申请人需要参加由相关部门组织的专业培训和考试，取得相应的成绩；申请人提交相关材料，经卫生健康委员会审核通过后，由人力资源和社会保障局颁发康复理疗师证书。

值得注意的是，不同地区和部门对于康复理疗师证的发放标准和程序可能会有所不同，因此在申请过程中，建议咨询当地卫生健康委员会或人力资源和社会保障局的具体要求，以确保顺利获得康复理疗师证，随着康复理疗行业的快速发展，相关政策和法规也在不断完善，未来可能会有更多的部门参与到康复理疗师证的发放和管理工作中。