运动康复师证发证机构主要由各级卫生健康委员会、体育局、人力资源和社会保障局等政府部门，以及相关专业的高等院校和职业培训机构发放，以下是一些具体的单位：

1、卫生健康委员会：作为政府部门，卫生健康委员会负责制定和实施运动康复师的培训、考试和证书颁发工作，各级卫生健康委员会都会设立专门的部门或机构负责运动康复师的管理工作。

2、体育局：体育局负责监督和管理本地区的体育事业，包括运动康复师的培训和发展，体育局会与卫生健康委员会等部门合作，共同推动运动康复师的专业发展。

3、人力资源和社会保障局：人力资源和社会保障局负责管理和监督职业资格证书的发放工作，包括运动康复师证，该局会与卫生健康委员会、体育局等部门合作，确保运动康复师证的权威性和有效性。

4、高等院校：许多高等院校设有体育教育、康复治疗等相关专业，这些学校会负责运动康复师的培训工作，学生在完成学业并通过相关考试后，学校会颁发运动康复师证书。

5、职业培训机构：为了满足市场需求，许多职业培训机构也提供运动康复师的培训课程，学员在完成培训并通过考试后，培训机构会颁发运动康复师证书。

6、行业协会和组织：例如中国康复医学会、中国体育科学学会等专业协会和组织，它们会组织专业的培训和学术交流活动，提高运动康复师的专业水平，在这些活动中，表现优秀的运动康复师可以获得相应的证书认证。

7、企事业单位：一些大型企事业单位，如医院、体育中心、健身房等，也会招聘具备运动康复师证书的专业人士，这些单位通常会对员工进行定期的培训和考核，以确保其专业能力和服务质量。

8、其他相关机构：如国家体育总局、全国总工会等，它们也会与卫生健康委员会、体育局等部门合作，共同推动运动康复师的专业发展。

运动康复师证发证机构主要包括政府部门、高等院校、职业培训机构、行业协会和组织、企事业单位等多方面，不同的单位有不同的职责和权限，但它们共同致力于推动运动康复师的专业发展和人才培养。